卷积

卷积 (Convolution)

符号	$*$
核心思想	信号的加权叠加
关键定理	卷积定理（时域卷积 = 频域相乘）
对应领域	信号滤波、系统响应、图像处理

卷积是一种数学算子，通过两个函数生成第三个函数。在线性时不变系统（LTI）中，卷积描述了输入信号与系统单位脉冲响应之间的相互作用，是计算系统输出的最基本方法。

数学定义

1. 连续卷积

对于连续时间信号 $x(t)$ 和系统脉冲响应 $h(t)$，其卷积定义为：

$y(t)=(x*h)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

2. 离散卷积

在数字信号处理（如您在 DSP 中处理采样数据）中，使用离散形式：

$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$

卷积的物理意义：翻转、平移、叠加

为了直观理解卷积的过程，可以将其拆解为四个步骤：

1. 翻转 (Flip)： 将系统响应 $h(\tau )$ 相对于垂直轴翻转，变为 $h(-\tau )$。
2. 平移 (Shift)： 将翻转后的函数在时间轴上平移 $t$ 个单位。
3. 相乘 (Multiply)： 将信号 $x(\tau )$ 与平移后的 $h(t-\tau )$ 在每个瞬时点相乘。
4. 积分/求和 (Sum)： 计算乘积曲线下的面积，得到该时刻 $t$ 的输出值。

简单来说： 卷积描述了信号的“过去”如何持续影响“现在”的输出。

卷积定理：EMC 工程的捷径

卷积在时域中计算非常复杂，但在频域中表现得极其简单。这是信号处理中最著名的定理：

• 时域中的卷积等于频域中的乘法。
• 数学表达： $ℱ\{x(t)*h(t)\}=X(f)\cdot H(f)$

工程应用价值：

在设计滤波器时，我们不需要在时域里做复杂的积分运算。我们只需： 1. 获取干扰信号的频谱 $X(f)$（通过 FFT）。 2. 乘以滤波器的频率响应 $H(f)$。 3. 得到输出信号的频谱，从而直观判断滤波效果。

在 EMC 与控制中的应用

• 瞬态分析： 当电路受到一个尖峰干扰（类似单位脉冲）时，输出的波形形状实际上就是系统的脉冲响应 $h(t)$。
• 数字滤波实现： FIR 滤波器的计算本质上就是输入序列与系数序列（Tap Weights）的卷积。
• 测量去卷积： 如果已知测量仪器的响应特性，可以通过逆运算（去卷积）从实测数据中恢复出更真实的原始干扰波形。

参见

• 线性时不变系统
• 傅里叶变换
• 数字滤波器
• 信号处理 目录