Z变换

Z变换 (Z-Transform)

核心变量	复变量 $z$
适用对象	离散时间信号 / 数字系统
主要用途	求解差分方程、数字滤波器设计
关联领域	数字信号处理 (DSP)、数字控制

Z变换（Z-Transform）是将离散时间信号（序列）从时域转换到复频域（z 域）的一种数学变换。它是分析离散线性时不变（LTI）系统的基本工具，在数字控制系统和数字滤波器的设计中起着核心作用。

数学定义

对于离散序列 $x[n]$，其单边 Z 变换定义为：

$X(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

其中，$z$ 是一个复变量。它与拉普拉斯变换中的 $s$ 变量通过采样周期 $T$ 存在对应关系：

$z=e^{sT}$

为什么需要 Z 变换？

在数字控制（如 50kW 变频器的数字环路）中，控制器不再处理连续信号，而是处理采样后的数据点。

• 差分方程代数化： 将复杂的时域差分方程转换为简单的 z 域代数方程。
• 单位延迟： 在 z 域中，乘上 $z^{-1}$ 就代表在时域中延迟一个采样周期。这对应于代码中存储上一个采样值的操作。

系统稳定性分析

在拉普拉斯变换（s 域）中，稳定性看“左半平面”；而在 Z 变换中，稳定性看单位圆：

• 稳定： 系统的所有极点都位于 z 平面的单位圆内（即 $|z|<1$）。
• 临界稳定： 极点位于单位圆上。
• 不稳定： 极点位于单位圆外。

在工程中的应用

1. 数字滤波器设计

通过 Z 变换，可以将模拟滤波器的传递函数转换成数字代码。例如，常用的 IIR 滤波器和 FIR 滤波器都是在 z 域进行系数确定的。

2. 数字 PID 控制

在 DSP 中实现 PID 时，需要将连续的 $s$ 域算子离散化。常见的离散化方法包括：

• 后向差分法 (Backward Difference)
• 双线性变换法 (Bilinear Transform / Tustin法) —— 这种方法能较好地保持频率响应特性，常用于变频器的环路设计。

S 域与 Z 域的对比

特性	连续系统 (s 域)	离散系统 (z 域)
基本算子	微分 $\frac{d}{dt}$	延迟 $z^{-1}$
变换工具	拉普拉斯变换	Z 变换
稳定区域	s 平面左半部	z 平面单位圆内
频率响应	$s=j\omega$	$z=e^{j\omega T}$

参见

• 拉普拉斯变换
• 采样定理
• 数字滤波器
• 信号处理 目录